Pascal's Pyramid

In Maddemaddix, Pascal's pyramid en drei Dimensional Generalization vun Pascal's Triangle iss. So wie Pascal's triangle Coefficients gebt fer die Terms vun re Binomial Expansion, so in der same Weg, em Pascal sei Pyramid gebt Coefficients fer re Trinomial Expansion.

Em Pascal sei Pyramid iss aa Pascal's Tetrahedron gheese. En generalization zu arbitrary Dimension iss ebnols en Pascal's Simplex gheese.

Der Pyramid iss uffgebaut Layer bei Layer. Es schterdt mit em Apex unn geht nunner. Die erschde Layers sinn so wie in dem Diagram:

1      1         1              1                   1
     1   1     2   2          3   3               4   4
             1   2   1      3   6   3           6  12   6
                          1   3   3   1       4  12   12  4
                                            1   4   6   4   1

Properties vun em Pascal sei Pyramid

Summing die Nummere in yedem Column vun me Layer vun'm Pascal sei Pyramid gebt uns der n^scht Power vun 111 in base Infinity (sell iss, mit aus Iwwerdraages deich Multiplication), wu n der Layer - 1 iss.

 1     |1|     | |1| |      | | |1| | |       | |  |  | 1|  |  | |
---   1| |1    |2| |2|      | |3| |3| |       | |  | 4|  | 4|  | |
 1    -----   1| |2| |1     |3| |6| |3|       | | 6|  |12|  | 6| |
      1 1 1   ---------    1| |3| |3| |1      |4|  |12|  |12|  |4|
              1 2 3 2 1    -------------     1| | 4|  | 6|  | 4| |1
                           1 3 6 7 6 3 1     ----------------------
                                             1 4 10 16 19 16 10 4 1
1110   1111      1112           1113             1114 = 151807041

                             1*108+4*107+10*106+16*105+19*104+16*103+10*102+4*101+1*100

Autseit Gleecher

• Beyond Flatland: Geometry fer der 21scht Yaahrhunnert. PART I: Pascal's Tetrahedron

• Pascal's Simplices (Es schwetzt baut em Pascal sei Triangle, em Pascal sei Pyramid, unn noch meh)